1. Pengertian Deret
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi
kaidah tertentu.
Suku adalah bilangan yang
merupakan unsur pembentuk deret.
Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :
1.
Deret berhingga ® Deret yang suku-sukunya tertentu.
2.
Deret tak berhingga
® Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .
Deret yang paling sering digunakan adalah
a.
Deret hitung
b.
Deret ukur
Ad. a. Deret hitung
Deret Hitung adalah deret yang perubahan
sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.
Pembeda : Bilangan yang
membedakan antar suku dari deret hitung.
Rumus suku ke – n
dari deret hitung : à S n
= a + ( n – 1 ) b
a = Suku pertama / S1 n = Indeks suku
b = Pembeda S
n = Suku ke- n dari deret hitung
Jumlah n suku dari deret hitung ® J n
= n/2 { 2 a + ( n – 1 ) b }
J n = n/2 ( a + S n )
J n = n a + n/2 ( n – 1 ) b
Ø
Penerapan Deret
Hitung
Jika
perkembangan variable tertentu dalam kegiatan usaha seperti : produksi, biaya,
pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola deret
hitung , maka prinsip deret hitung bisa di terapkan.
sebuah deret hitung jika S 5
= 70 dan S 7 = 462 hitunglah :
a)
nilai a
b)
nilai b
pengganda sebuah deret ukur
nilainya 5 . jika S 6 = 6250
a)
nilai S 1
b)
nilai J 5
Contoh : Perusahaan
genteng “ Prima” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama prouksinya.
Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu
menambah jumlah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa
buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima ? Dan berapa buah jumlah
keseluruhan genteng yang telah dihasilkan sampai bulan ke lima tersebut ?
Jawab : a
= 3.000 b = 500 n = 5
S
n = a + ( n – 1 ) b = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000
J n
= n/2 ( a + S n ) = 5/2 (
3.000 + 5.000 ) = 20.000
Jadi jumlah produksi pada bulan ke – 5 sebesar 5.000
genteng.
Sedangkan jumlah seluruh genteng yang telah
dihasilkan sampai bulan ke – 5 sebanyak 20.000 buah genteng.
Ad. b. Deret Ukur
Deret Ukur adalah deret yang perubahan sukunya
berdasarkan perkalian terhadap
sebuah bilangan tertentu.
Pengganda :
merupakan hasil bagi nilai suku terhadap suku yang di depannya.
Rumus suku ke-n dari deret ukur : à S
n = a p n - 1
a = Suku
pertama p = Pengganda n
= Indeks Suku
Jumlah n suku dari deret ukur :
|
|
atau
Untuk I p I
< 1 Untuk I p I > 1
Penerapan
Bunga Majemuk
|
P = Jumlah
Sekarang
i = Tingkat bunga per tahun
n = Jumlah tahun
Fn = Jumlah keseluruhan uang setelah n
tahun
Fn = S n + 1 P = a atau S1 dlm
deret ukur
|
m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun
|
|
atau
P = nilai
sekarang ( present value)
1 . disebut discount factor (df)
( 1 + i ) n
Contoh
: Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3
tahun. Tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dibayar
pada saat pelunasan ? Jika perhitungan pembayaran bunga dihitung setiap
semester, berapa jumlah uang yang haris dikembalikan ?
Jawab
:
P = 5.000.000 n = 3 i
= 2 % = 0,02
Fn
= P ( 1 + i ) n = 5.000.000 ( 1 + 0,02 ) 3 =
5.306.040
Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun
keseluruhan uang yang harus dikembalikan sebesar Rp. 5.306.040,00.
Jika bunga
diperhitungkan per semester, m = 2 berarti m.n = (2).(3) = 6
Fn = P ( 1 + 
) m n =
5.000.000 ( 1 + 
) 6 = 5.307.600
) m n =
5.000.000 ( 1 + ) 6 = 5.307.600
Jumlah yang harus dibayar 3 tahun kemudian sebesar
Rp. 5.307.600,00
Model Pertumbuhan Penduduk
|
P1 = Jumlah pada
tahun pertama (basis)
Pt = Jumlah pada tahun ke-t
r = Persentase pertumbuhan per tahun
t = Indeks waktu (tahun)
Di
mana R = 1 + r
Contoh
: Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada Tahun 1991. Tingkat
pertumbuhan nya 4 % per tahun. Hitunglah
jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 ? Jika mulai Tahun 2006
pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian
?
1.
Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebesar Rp. 10
juta dengan jangka waktu pengembalian 5 tahun. Tingkat bunga pinjaman yang
berlaku 12 persen per tahun.
Pertanyaan ;
a) berapakah besarnya pinjaman
nasabah pada tahun ke 3 ?
b) setelah 3 tahun perhitungan
bunganya berubah menjadi setiap 3 bulan sekali, berapakah besarnya pinjaman
pada saat jatuh tempo ?
2.
sebuah perusahaan akan membeli gudang. cara pembayaran dapat dialkukan dengan 3
pilihan sebagai berikut :
A. jika di bayar tunai maka harga
gudang sebesar Rp. 200 juta
B. Jika di bayar 3 tahun yang akan
datang maka harga gudang menjadi Rp.280 juta
C. jika di bayar tunda 5 tahun
yang akan datang, harganya menjadi Rp.425 juta
pertanyaan :
cara pembayaran manakah yang paling efisien bagi perusahaan ? berikan
saran dengan perhitungan dan penjelasannya !
3.
jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2010 sebanyak
243 juta jiwa. jika pertumbuhan penduduk
per tahun sebesar 4 persen.
a). berapakah perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2013 ?
b). jika pada Tahun 2014 pertumbuhan penduduk menurun menjadi 3 persen
per tahun, berapakah jumlah penduduk Indonesia pada Tahun 2017 ?
Jawab
:
P 1
= 1.000.000 r = 4 % = 0,04 R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04
Pt
= P1 R t –1 à P16 = 1.000.000 (1,04)16 – 1
= 1.800.943
Jadi
jumlah penduduk kota tersebut pada Tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa.
P 1
= 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025
P11
= P1 R 11 – 1 = 1.800.943 ( 1,025 ) 10 =
2.305.359
Jadi
jumlah penduduk 11 tahun kemudian sebanyak 2.305.359 jiwa
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A.
PERMUTASI
Adalah
penyusunan obyek-obyek ke dalam urutan atau susunan tertentu
Syarat permutasi : obyek-obyeknya harus dapat
dibedakan
Contoh
: Dalam berapa carakah, tiga orang dapat duduk di atas 3 buah kursi yang
tersedia.
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
Ingat dengan faktorial ( ! ) à 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
1.
Asas Perkalian
Jika ada beberapa
peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka banyaknya cara yang bisa terjadi dari
keseluruhan peristiwa yang dilakukan sekaligus, dapat digunakan asas perkalian.
Yang dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1 à n 1 cara Keseluruhan permutasi =
Peristiwa 2 à n 2 cara n
1 x n 2 x n 3 x … x n k cara
Peristiwa 3 à n 3 cara
………….
Peristiwa k à n k cara
Contoh
: seseorang yang akan melakukan perjalanan keliling Pulau Jawa dari dengan
route Jkt – Bdg bisa dilalui dengan 3 cara, Bdg – Ygy bisa dilalui dengan 4
cara, Ygy – Sby bisa dilalui dengan 3 cara, Sby – Smg bisa dilalui dengan 4
cara dan Smg – Jkt bisa dilalui dengan 2 cara.
Maka dalam berapa cara perjalanan tersebut bisa dilakukan ?
Perjalanan
tersebut bisa dilakukan dalam 3 x 4 x 3 x 4 x 2 = 288 cara atau alternatif
perjalanan.
2.
Asas Penjumlahan
Dalam asas ini tidak
dilakukan sekaligus, tetapi masing-masing peristiwa pemilihan terjadinya
salah satu. Jika ada beberapa peristiwa pemilihan ( k pemilihan ), maka
banyaknya cara yang bisa terjadi dari peristiwa-peristiwa tersebut, yang
dilakukan tidak sekaligus, dapat digunakan asas penjumlahan. Dan
dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Peristiwa 1 à n 1 cara Permutasinya =
Peristiwa 2 à n 2 cara n
1 + n 2 + n 3 + … + n k cara
Peristiwa 3 à n 3 cara
………….
Peristiwa k à n k cara
Contoh : Sebuah restoran dapat menyediakan 4 macam
makanan / kue dan 5 macam minuman. Maka berapakah :
a.
Jumlah hidangan
makanan dan minuman yang dapat dipilih ?
b.
Jumlah hidangan,
jika hanya satu macam saja yang dapat dipilih ?
Jawab : a. 4
x 5 = 20 macam hidangan yang berbeda
c.
4 + 5 = 9 macam hidangan yang berbeda
3.
Permutasi atas
Seluruh Obyek
Jika seluruh obyek
dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang bisa dibuat adalah :
P
= n !
= n !
4.
Permutasi atas
Sebagian Obyek
P
= 
=
5.
Permutasi keliling
P n = (
n – 1 ) !
6.
Permutasi dari
Obyek yang tidak seluruhnya berbeda
P ( n I k1, k2,
… , k r ) = 
Dimana : k1 +
k2 + … + k r = n
k = obyek yang sama
7.
Permutasi dari
Obyek dengan pemulihan
R= n r
= n r
B.
KOMBINASI
Kombinasi
adalah himpunan obyek yang ada tanpa memperhatikan urutan.
Dalam
kombinasi yang diperhatikan hanya unsur himpunannya.
1.
n obyek yang berbeda, dikombinasikan sekaligus
C = 1
= 1
2.
n obyek yang berbeda, dikombinasikan sebagian ( r )
C= 
= 
No comments:
Post a Comment